第 16 課：ポートフォリオ構築とリスク・エクスポージャー管理

複数戦略の組み合わせがリスク低減を意味するわけではない。相関がリスクの本質である。

典型的なシナリオ(例示)

注:以下は一般的な現象を説明するための合成例です。数字は例示的なものであり、特定の個人やアカウントには対応していません。

2022年初頭、ある投資家が「分散ポートフォリオ」を見せてくれました:

彼は私に尋ねました:「これら4つの戦略はすべて優れており、組み合わせればより安定するはずですよね?」

私は簡単な相関分析を行いました:

発見: すべての戦略相関が0.75以上。

結果: 2022年、この「分散ポートフォリオ」は35%のドローダウンを記録 - 単一戦略よりも悪化。

なぜ?

これら4つの戦略は異なって見えますが、実際には同じことをしています:米国テクノロジー株のロング。テクノロジー株がグループとして下落したとき、すべてが同時に損失を出し、相関は1に近づき、分散効果は消失しました。

これがPortfolioレイヤー欠如のコスト - リスクを分散していると思っているが、実際には同じベットを積み重ねている。

16.1 Portfolioレイヤーの必要性

16.1.1 標準的なQuantフロー

完全なQuantシステムは以下のようになります:

Signals -> Portfolio Optimization -> Risk Control -> Execution
 |              |                      |              |
 +-- 各         +-- 統一               +-- 二次      +-- 実際の
    Strategy       Allocation             Review         Trading
    Signal

多くのシステムは「Portfolio Optimization」レイヤーが欠けています:

Signals -> [欠落] -> Risk Control -> Execution
 |                          |              |
 +-- シグナルから            +-- パッシブ    +-- 爆発する
    直接取引                   チェック       可能性

16.1.2 Portfolioレイヤーが解決する問題

16.1.3 シグナル品質はPortfolio品質と等しくない

これは多くの人が見落とす重要な区別です:

単一Strategy視点:
  強いシグナル -> 大きなポジション -> 高リターン

Portfolio視点:
  強いシグナル + 高相関 -> 大きなポジション -> 集中リスク -> 大損の可能性
  強いシグナル + 低相関 -> 大きなポジション -> 分散リスク -> より頑健

16.2 ポジションサイジング手法

16.2.1 4つの一般的な手法の比較

16.2.2 Equal Weight vs Equal Risk Contribution

紙上演習:

2つの戦略があります:

• Strategy A: 年率10%ボラティリティ
• Strategy B: 年率30%ボラティリティ

16.2.3 PortfolioレベルでのKelly

単一Strategy Kelly:

f* = (p x b - q) / b

複数Strategy Kelly (相関を考慮):

f* = Sigma^(-1) x mu

Where:
- f* = 最適ウェイトベクトル
- Sigma = 共分散行列
- mu = 期待リターンベクトル

Key:
- 高相関戦略は重みを下げる
- 負相関戦略は重みを上げる

実用的な推奨:

• 1/2 Kelly または 1/4 Kelly を使用
• 共分散行列にはロバストな推定を使用(次セクション参照)
• 単一戦略のウェイト上限を設定

16.3 共分散推定とShrinkage

16.3.1 サンプル共分散の問題

Mean-variance最適化には共分散行列Sigmaが必要です。自然なアプローチは履歴データから推定することです:

サンプル共分散行列:
Sigma_hat = (1/T) x Sum((r_t - mu_hat)(r_t - mu_hat)')

Where:
  r_t = 時刻tのリターンベクトル
  mu_hat = サンプル平均ベクトル
  T = サンプル数

問題: 資産数Nがサンプル数Tに近づくと、サンプル共分散行列は極めて不安定になります。

紙上演習:

なぜ小さいT/Nが問題を引き起こすか:

1. 推定ノイズが高い
   - 共分散行列はN x (N+1)/2 パラメータを持つ
   - 100銘柄 = 5,050 パラメータ
   - 252サンプルで5,050パラメータを推定 -> 極めて信頼性が低い

2. 行列が特異になる可能性
   - N > T の場合、Sigma_hat は特異 (行列式 = 0)
   - 逆行列が取れない -> Portfolio最適化ができない

3. 極端なウェイト
   - 推定誤差がオプティマイザーによって増幅される
   - 不合理な大きなウェイトやショートポジションを生成

16.3.2 Ledoit-Wolf Shrinkage推定

コアアイデア: 不安定なサンプル共分散行列を安定したターゲット行列に向けて「収縮」させる。

Shrinkage推定:
Sigma_shrunk = delta x F + (1-delta) x Sigma_hat

Where:
  F = ターゲット行列 (構造化され安定)
  Sigma_hat = サンプル共分散行列 (不偏だがノイジー)
  delta = Shrinkage強度 (0 <= delta <=1)

delta -> 1の場合: ターゲット行列に近づく (安定だが偏りあり)
delta -> 0の場合: サンプル行列に近づく (不偏だがノイジー)

一般的なターゲット行列:

16.3.3 コード実装

import numpy as np
from sklearn.covariance import LedoitWolf, OAS

def get_shrunk_covariance(returns: np.ndarray, method: str = 'ledoit_wolf') -> dict:
    """
    Shrinkage共分散行列を計算

    Parameters:
    -----------
    returns : リターン行列 (T x N)、各行は期間、各列は資産
    method : 'ledoit_wolf' または 'oas' (Oracle Approximating Shrinkage)

    Returns:
    --------
    dict : Shrinkage共分散行列とShrinkage強度を含む
    """
    if method == 'ledoit_wolf':
        estimator = LedoitWolf()
    elif method == 'oas':
        estimator = OAS()
    else:
        raise ValueError(f"Unknown method: {method}")

    estimator.fit(returns)

    return {
        'covariance': estimator.covariance_,
        'shrinkage': estimator.shrinkage_,
        'sample_cov': np.cov(returns, rowvar=False)
    }


def compare_covariance_stability(returns: np.ndarray, n_splits: int = 5) -> dict:
    """
    サンプル共分散とShrinkage共分散の安定性を比較

    データを分割して、両方の手法のサブサンプル間の一貫性を比較
    """
    T, N = returns.shape
    split_size = T // n_splits

    sample_covs = []
    shrunk_covs = []

    for i in range(n_splits):
        start = i * split_size
        end = start + split_size
        subset = returns[start:end]

        sample_covs.append(np.cov(subset, rowvar=False))

        lw = LedoitWolf()
        lw.fit(subset)
        shrunk_covs.append(lw.covariance_)

    # サブサンプル間の差を計算 (Frobenius norm)
    sample_diffs = []
    shrunk_diffs = []

    for i in range(n_splits):
        for j in range(i+1, n_splits):
            sample_diffs.append(np.linalg.norm(sample_covs[i] - sample_covs[j], 'fro'))
            shrunk_diffs.append(np.linalg.norm(shrunk_covs[i] - shrunk_covs[j], 'fro'))

    return {
        'sample_cov_variation': np.mean(sample_diffs),
        'shrunk_cov_variation': np.mean(shrunk_diffs),
        'stability_improvement': np.mean(sample_diffs) / np.mean(shrunk_diffs)
    }

16.3.4 使用例

import numpy as np
from sklearn.covariance import LedoitWolf

# 50銘柄、1年間日次データをシミュレート
np.random.seed(42)
n_assets = 50
n_days = 252

# Factor構造を持つリターンを生成 (より現実的)
factor_returns = np.random.normal(0.0005, 0.015, n_days)
betas = np.random.uniform(0.5, 1.5, n_assets)
idio_returns = np.random.normal(0, 0.02, (n_days, n_assets))
returns = np.outer(factor_returns, betas) + idio_returns

# サンプル共分散
sample_cov = np.cov(returns, rowvar=False)

# Ledoit-Wolf Shrinkage共分散
lw = LedoitWolf()
lw.fit(returns)
shrunk_cov = lw.covariance_

print(f"資産数: {n_assets}")
print(f"サンプル数: {n_days}")
print(f"T/N比: {n_days/n_assets:.2f}")
print(f"Shrinkage強度 delta: {lw.shrinkage_:.3f}")
print(f"サンプル共分散の条件数: {np.linalg.cond(sample_cov):.0f}")
print(f"Shrunk共分散の条件数: {np.linalg.cond(shrunk_cov):.0f}")

# 出力例:
# 資産数: 50
# サンプル数: 252
# T/N比: 5.04
# Shrinkage強度 delta: 0.234
# サンプル共分散の条件数: 847
# Shrunk共分散の条件数: 142

解釈:

• Shrinkage強度 delta = 0.234 は、23.4%がターゲット行列から、76.6%がサンプル行列からであることを意味
• 条件数が847から142に低下、より安定した行列、より信頼性の高い逆行列

16.3.5 Shrinkage推定を使用すべき時

実用的な推奨:

1. デフォルトでShrinkage推定を使用
   - 高いT/Nでも、Shrinkageは害にならない
   - sklearnが自動的に最適なShrinkage強度を計算

2. ローリングウィンドウではさらにShrinkageが必要
   - ローリングウィンドウ = サンプル数が少ない
   - Shrinkageは共分散の変化を滑らかにする

3. Factorモデルと組み合わせる
   - 大規模Portfolio (>100資産) はFactorモデルで次元削減
   - 残差共分散にShrinkageを適用

16.4 Factor Exposure Management

16.4.1 Factor Exposureとは何か?

Factorsは資産リターンを駆動する共通のソースです。一般的なFactors:

16.4.2 隠れたFactor Exposure

問題: 自分がどのFactorに賭けているかわからない可能性があります。

ケース: 4つの「異なる」Strategies

Strategy A: 高ROE銘柄を買う
Strategy B: 低PE銘柄を買う
Strategy C: 財務健全な銘柄を買う
Strategy D: 高配当銘柄を買う

見た目: 4つの異なる銘柄選択方法
実際: すべて「Quality + Value」Factorをロング

結果: Value Factorが失敗したとき (例: 2019-2020)、4つすべての戦略が同時に損失

16.4.3 Factor Exposure計算

紙上演習:

あなたのPortfolioは以下を保有しています:

Portfolio Factor露出を計算:

16.4.4 Factor Neutralization

Factor中立Portfolioが必要な場合:

目標: Factor露出 ~ 0

方法1: 制約付き最適化
  max  期待リターン
  s.t. Factor露出 = 0
       ウェイトの合計 = 1
       ウェイト >= 0

方法2: ヘッジング
  Portfolioが0.5のValue露出を持つ場合
  0.5単位のValue Factor ETFをショート

方法3: Pair Trading
  各Value株を買うごとに
  グロース株も買う (等しいValue Betaで)

16.5 隠れたレバレッジ

16.5.1 隠れたレバレッジとは何か?

明示的なレバレッジ: お金を借りて株を買う、$1M資本 + $1M借入 = 2倍レバレッジ

隠れたレバレッジ: 借入はないが、Portfolioリスク露出が資本を超える

ケース: Futures Portfolio

資本: $1M
保有:
  - 株価指数先物ロング: $2Mのノーショナル (20%証拠金)
  - 債券先物ロング: $3Mのノーショナル (15%証拠金)
  - 商品先物ロング: $1.5Mのノーショナル (15%証拠金)

使用証拠金: $500K
遊休現金: $500K

見た目: 資本の50%のみ使用
実際: $6.5Mのノーショナル露出 = 6.5倍レバレッジ!

16.5.2 真のレバレッジの計算

真のレバレッジ = Sum(|ノーショナル露出|) / 資本

またはリスク観点から:

リスクレバレッジ = Portfolioボラティリティ / ベンチマークボラティリティ

例:
  Portfolio年率ボラティリティ: 30%
  S&P 500ボラティリティ: 15%
  リスクレバレッジ = 30% / 15% = 2倍

16.5.3 レバレッジの罠

16.5.4 レバレッジ制御フレームワーク

16.6 Multi-Strategy Portfolioの落とし穴

16.6.1 相関の2つの顔

通常期: Strategy相関 = 0.3 (分散が機能)

危機期: Strategy相関 -> 0.9 (分散が失敗)

なぜ危機時に相関が急上昇するのか?

1. 流動性逼迫
   みんなが売る -> すべての資産が下落

2. リスク選好の反転
   「リスクオフ」 -> 国債のみ買い、他はすべて売り

3. レバレッジ清算
   証拠金請求 -> 強制売却 -> 価格下落 -> さらに証拠金請求

4. パニック伝染
   1つの市場が暴落 -> 投資家がパニック -> すべてのリスク資産を売却

16.6.2 Drawdown同期問題

紙上演習:

3つの戦略があり、それぞれ15%の過去最大Drawdownを持っています。

16.6.3 Strategy容量制約

問題: Strategy容量が不十分な場合、資本を追加し続けると:

• スリッページ増加
• Alpha減衰
• 限界収益の減少

16.7 Multi-Agent視点

16.7.1 Portfolio Agentの責任

16.7.2 Risk Agentとの分業

協力フロー:

Signal Agents --> Portfolio Agent --> Risk Agent --> Execution Agent
                       |                   |
                       v                   v
                  最適ウェイト         レビュー/削減/拒否
                  Factor露出           レバレッジチェック
                  相関                 Drawdownチェック

16.7.3 Portfolio最適化頻度

推奨:

• ウェイト変更が閾値を超えた場合のみリバランス (例: 5%)
• 過度な取引コストを避ける

合格基準

このレッスンを完了した後、以下の基準で学習を検証してください:

レッスン成果物

このレッスンを完了すると、以下が得られます:

1. ポジションサイジング手法の比較 - Equal weight、Equal volatility、Equal risk contribution
2. Factor露出計算フレームワーク - Portfolioの隠れたリスク露出を特定
3. レバレッジ制御ルール - ノーショナルおよびリスクレバレッジ制約
4. Portfolio Agent設計テンプレート - Portfolio最適化の責任とワークフロー

レッスンまとめ

• 複数戦略は分散を意味しない、相関が分散効果を決定
• Equal weight配分は高ボラティリティ戦略がPortfolioリスクを支配することを許す
• Factor露出は隠れている可能性があり、明示的な監視が必要
• 隠れたレバレッジはノーショナル露出が資本を超えることから生じる
• 危機時相関が急上昇、分散効果が失敗

さらなる読書

• Lesson 08: Beta, Hedging, and Market Neutrality - BetaとFactorsの基礎
• Lesson 15: Risk Control and Money Management - Risk controlとPortfolioレイヤーの協力
• Background: Statistical Traps of Sharpe Ratio - Portfolio評価の統計的問題
• Background: Famous Quant Disasters - レバレッジが制御不能になったケース

次のレッスンプレビュー

Lesson 17: Online Learning and Strategy Evolution

Portfolioが構築された後、市場は変化し、戦略は進化しなければなりません。大きな損失の後に問題を発見するのを待つのではなく、システムが継続的に学習し自己更新できるようにする方法は?次のレッスンではOnline learning手法を探ります。